Question

9．已知函數f（x）=|bx-2|+|bx-b|（b∈R）．
（1）當b=1時，解不等式f（x）≥x+3；
（2）若不等式f（x）≥4對任意的實數x都成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把b=1代入，對x分類去絕對值求解不等式得答案；
（2）利用絕對值不等式把f（x）≥4變形，求出f（x）的最小值，再由最小值大于等于4求解得答案．

解答 解：（1）當b=1時，f（x）=|x-2|+|x-1|，
∴不等式f（x）≥x+3變為|x-2|+|x-1|≥x+3，
當x≤1時，不等式變形為2-x+1-x≥x+3，即x≤0．
∴x∈（-∞，0]；
當1＜x＜2時，不等式變形為-x+2+x+1≥x+3，即x≤-2．
∴x∈∅；
當x＞2時，不等式變形為x-2+x-1≥x+3，即x≥6．
∴x∈[6，+∞）．
綜上所述，x∈（-∞，0]∪[6，+∞）；
（2）不等式f（x）≥4對任意的實數x都成立?f（x）_min≥4成立．
∵f（x）=|bx-2|+|bx-b|≥|（bx-2）-（bx-b）|=|b-2|．
∴f（x）_min=|b-2|，于是只需|b-2|≥4，
得b-2≤-4或b-2≥4，即b≤-2或b≥6．
∴實數b的取值范圍是（-∞，-2]∪[6，+∞）．

點評 本題考查函數的最值及其幾何意義，考查絕對值不等式的解法，體現了數學轉化思想方法，是中檔題．