Question

4．已知雙曲線C的漸近線方程為x±2y=0，且點A（5，0）到雙曲線上動點P的最小距離為$\sqrt{6}$，求C的方程．

Answer 1

分析 由已知條件，設雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=λ，λ≠0，由定點A（50）到雙曲線C上的動點P的最小距離為$\sqrt{6}$，運用兩點距離公式，結合二次函數最值求法，可得最小值，求得λ，由此能求出雙曲線方程．

解答 解：∵雙曲線C的一條漸近線L的方程為x±2y=0，
∴設雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=λ，λ≠0
設P（m，n），則m²-4n²=4λ，
點A（5，0）到雙曲線上動點P的距離為：
$\sqrt{（m-5）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}-10m+25+\frac{{m}^{2}}{4}-λ}$
=$\sqrt{\frac{5}{4}{m}^{2}-10m+25-λ}$=$\sqrt{\frac{5}{4}（m-4）^{2}+5-λ}$，
當m=4時，上式取得最小值$\sqrt{5-λ}$，
由題意可得$\sqrt{5-λ}$=$\sqrt{6}$，
解得λ=-1．
則雙曲線C的方程為y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

點評 本題考查雙曲線的標準方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意雙曲線方程和二次函數最值求法的運用．