Question

16．已知函數(shù)f（x）=x³-mx，x∈R，若方程f（x）=2在x∈[-4，4]恰有3個不同的實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍是$（{3，\frac{31}{2}}]$．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=x³-mx，x∈R，若方程f（x）=2在x∈[-4，4]恰有3個不同的實數(shù)解，則g（x）=x³-mx-2在x∈[-4，4]恰有3個不同的零點，進而求出函數(shù)的兩個極值點，根據極大值為正，極小值為負，g（-4）不大于0，g（4）不小于0，可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³-mx，x∈R，若方程f（x）=2在x∈[-4，4]恰有3個不同的實數(shù)解，
∴g（x）=x³-mx-2在x∈[-4，4]恰有3個不同的零點，
g′（x）=3x²-m=0時，x=±$\sqrt{\frac{m}{3}}$，
故m＞0，且$\sqrt{\frac{m}{3}}$＜4，即0＜m＜48，
且$\left\{\begin{array}{l}g（-4）≤0\\ g（-\frac{m}{3}）＞0\\ g（\frac{m}{3}）＜0\\ g（4）≥0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-66+4m≤0\\ \frac{2m}{9}\sqrt{3m}-2＞0\\-\frac{2m}{9}\sqrt{3m}-2＜0\\ 62-4m≥0\end{array}\right.$，
解得：m∈$（{3，\frac{31}{2}}]$，
故答案為：$（{3，\frac{31}{2}}]$．

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，熟練掌握方程根與對應函數(shù)零點之間的關系是解答的關鍵．