Question

11．已知函數$f（x）=lnx+\frac{a}{x-1}$在$（0，\frac{1}{e}）$內有極值，則實數a的取值范圍是（e+$\frac{1}{e}$-2，+∞）．

Answer 1

分析 求出函數的導數，令g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β），求出g（$\frac{1}{e}$）＜0，解出a即可．

解答 解：函數的定義域為（0，1）∪（1，+∞）
求導函數f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{（x-1）}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-（a+2）x+1}{{x（x-1）}^{2}}$，
∵函數f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）內有極值
∴f′（x）=0在（0，$\frac{1}{e}$）內有解，
令g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）
∵αβ=1，不妨設0＜α＜$\frac{1}{e}$，則β＞e
∵g（0）=1＞0，
∴g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$-$\frac{a+2}{e}$+1＜0，
∴a＞e+$\frac{1}{e}$-2，
故答案為：（e+$\frac{1}{e}$-2，+∞）．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查函數的極值問題以及導數的應用，是一道中檔題．