Question

6．如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為$\frac{π}{3}$的扇形，C是扇形弧上的動點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形．
（1）求扇形OPQ的面積；
（2）記∠COP=α，求當(dāng)角α取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積．

Answer 1

分析 （1）利用扇形的面積公式求扇形OPQ的面積；
（2）先把矩形的各個邊長用角α表示出來，進(jìn)而表示出矩形的面積；再利用角α的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求求矩形面積的最大值即可．

解答 解：（1）扇形OPQ的面積=$\frac{1}{2}•\frac{π}{3}•1•1$=$\frac{π}{6}$；
（2）在RT△OBC中，OB=OC•cosα=cosα，BC=OC•sinα=sinα
在RT△OAD中，OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα，AB=OB-OA=cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα
矩形ABCD的面積S=AB•BC=（cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα）sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$
由0＜α＜$\frac{π}{3}$，得$\frac{π}{6}$＜2α+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$
所以當(dāng)2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即α=$\frac{π}{6}$時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型，求解問題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形建立起三角模型，將三角模型用所學(xué)的恒等式變換公式進(jìn)行化簡．