Question

9．已知直線l：y=kx+1與雙曲線C：3x²-y²=1相交于A、B兩點．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）當A，B兩點分別在雙曲線兩支上，求k的范圍？
（3）當A，B兩點在雙曲線同一支上，求k的范圍？
（4）求當實數k為何值時，以線段AB為直徑的圓經過坐標原點．

Answer 1

分析 （1）直線l：y=kx+1與雙曲線C：3x²-y²=1聯立，消去y得（3-k²）x²-2kx-2=0①，由△＞0，且3-k²≠0，求實數k的取值范圍；
（2）A，B兩點分別在雙曲線兩支上，$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$＜0
（3）要A、B在雙曲線同一支上，則方程①的兩根同號；
（4）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），依題意，x₁x₂+y₁y₂=0，利用韋達定理可得$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$+1=0，繼而可解得k的值．檢驗成立．

解答 解：（1）直線l：y=kx+1與雙曲線C：3x²-y²=1聯立，消去y得（3-k²）x²-2kx-2=0①，
由△＞0，且3-k²≠0，
得-$\sqrt{6}$＜k＜$\sqrt{6}$，且k≠±$\sqrt{3}$；
（2）A，B兩點分別在雙曲線兩支上，$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$＜0，
∴-$\sqrt{3}$＜k＜$\sqrt{3}$時，A、B兩點在雙曲線的兩支上．
（3）若要A、B在雙曲線同一支上，則方程①的兩根同號，
故$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$＞0，
∴k＞$\sqrt{3}$或a＜-$\sqrt{3}$．
∴當-$\sqrt{6}$＜k＜$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$＜k＜$\sqrt{6}$時，A、B兩點在雙曲線的同一支上；
（4）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
因為以AB為直徑的圓過原點，所以OA⊥OB，
所以x₁x₂+y₁y₂=0，又x₁+x₂=$\frac{-2k}{{k}^{2}-3}$，x₁x₂=$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
∴k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1+x₁x₂=0，
即2•$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$+k•$\frac{-2k}{{k}^{2}-3}$+1+$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$=0，
∴$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$+1=0，解得k=±1．
經檢驗，k=±1滿足題目條件，
則存在實數k，使得以AB為直徑的圓恰好過原點．

點評 本題考查雙曲線的標準方程和性質，著重考查直線與圓錐曲線的位置關系，突出考查韋達定理的應用，考查轉化思想與綜合運算能力，屬于中檔題．