Question

18．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個焦點與拋物線y²=8x的焦點重合，點（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）在C上
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M，證明：OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：拋物線y²=8x的焦點為（2，0），c=2，即a²-b²=4，將（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓C方程；
已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個焦點與拋物線y²=8x的焦點重合，點（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）在C上
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+b，代入橢圓方程，由韋達定理及中點坐標公式求得中點M坐標，根據斜率公式，直線OM的斜率為k_OM=$\frac{{y}_{M}}{{x}_{M}}$=-$\frac{1}{2k}$，則k_OM•k=-$\frac{1}{2}$，則OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．

解答 解：（Ⅰ）拋物線y²=8x的焦點為（2，0），由題意可得：c=2，即a²-b²=4，
又點（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）在橢圓C上，可得$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{{b}^{2}}=1$，解得：a²=8，b²=4，
c²=a²-b²=4，
∴C的方程：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；…（5分）
（Ⅱ）證明：設直線l的方程為y=kx+b（k，b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），…（6分）
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4kbx-2b²-8=0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4kb}{1+2{k}^{2}}$，…（8分）
即有AB的中點M的橫坐標為x_M=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2kb}{1+2{k}^{2}}$，縱坐標為y_M=k（-$\frac{2kb}{1+2{k}^{2}}$）+b=$\frac{b}{1+2{k}^{2}}$，…（10分）
直線OM的斜率為k_OM=$\frac{{y}_{M}}{{x}_{M}}$=-$\frac{1}{2k}$，即有k_OM•k=-$\frac{1}{2}$，
故OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．…（12分）

點評 本題考查拋物線與橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理及中點坐標公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．