Question

20．已知遞增的等比數列{a_n}中，a₁，a₂，a₃分別為下表中第一、二、三行中某一個數，且a₁，a₂，a₃中的任何兩個數不在下表中同一行和同一列，

	第一列	第二列	第三列
第一行	3	2	10
第二行	6	4	14
第三行	9	8	18

（1）求數列{a_n}通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足${b_n}={a_n}+{（-1）^n}ln{a_n}$，若n為偶數，求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）首先要結合所給列表充分討論符合要求的所有情況，根據符合的情況進一步分析公比進而求得數列{a_n}的通項公式；
（2）首先要利用第（1）問的結果對數列數列{b_n}的通項進行化簡，然后結合通項的特點，利用分組法進行數列{b_n}的前n項和的求解．

解答 解：（1）當a₁=3時，不符合題意；
當a₁=2時，當且僅當a₂=6，a₃=18時符合題意；
當a₁=10時，不符合題意；
所以a₁=2，a₂=6，a₃=18，
∴公比為q=3，
故：a_n=2•3^n-1，n∈N*．
（2）因為b_n=a_n+（-1）ⁿlna_n
=2•3^n-1+（-1）ⁿln（2•3^n-1）
=2•3^n-1+（-1）ⁿ[ln2+（n-1）ln3]
=2•3^n-1+（-1）ⁿ（ln2-ln3）+（-1）ⁿnln3，
所以所以s_n=2（1+3+…+3^n-1）+[-1+1-1+1+…+（-1）ⁿ]（ln2-ln3）+[-1+2-3+4-…+（-1）ⁿn]ln3，
所以當n為偶數時，S_n=2×$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$+$\frac{n}{2}$ln3=3ⁿ+$\frac{n}{2}$ln3-1．

點評 本題考查了等比數列的通項公式，以及數列求和的方法，只要簡單數字運算時不出錯，問題可解，是個中檔題．