Question

12．已知函數f（x）=x-alnx，$g（x）=-\frac{1+a}{x}$．
（1）若a=1，求函數f（x）的極值；
（2）設函數h（x）=f（x）-g（x），求函數h（x）的單調區間．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；
（2）求出h（x）的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，從而進一步確定a的范圍即可．

解答 解：（1）由題意可知f（x）的定義域為（0，+∞），…（1分）
當a=1時，f（x）=x-lnx，$f'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，…（3分）

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

由表可知，f（x）在x=1處取到極小值為1，無極大值．…（7分）
（2）∵$h（x）=x-alnx+\frac{1+a}{x}$∴$h'（x）=1-\frac{a}{x}-\frac{1+a}{x^2}=\frac{{（x+1）[{x-（1+a）}]}}{x^2}$…（9分）
①當a+1＞0即a＞-1時，令h'（x）＜0得0＜x＜a+1
令h'（x）＞0得x＞a+1…（11分）
②當a+1≤0即a≤-1時，h'（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，…（13分）
綜上，當a＞-1時，h（x）的遞減區間為（0，a+1），遞增區間為（a+1，+∞）；
當a≤-1時，h（x）的遞增區間為（0，+∞），無遞減區間． …（14分）

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．