Question

3．已知$\overrightarrow a$=（sinωx，cosωx），$\overrightarrow b$=（sinωx+2cosωx，cosωx），x∈R，ω＞0，記f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$且該函數的最小正周期為$\frac{π}{4}$．
（1）求ω的值；
（2）求函數f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

分析 （1）根據f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，利用向量數量積的運算，可得f（x）的解析式，該函數f（x）的最小正周期為$\frac{π}{4}$．可得ω的值．
（2）根據三角函數的性質可得函數f（x）的最大值，以及f（x）取得最大值的x的集合．

解答 解：（1）由題意，f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，
即f（x）=sinωx•（sinωx+2cosωx）+cos²ωx=sin2ωx+1．
∵函數f（x）的最小正周期為$\frac{π}{4}$．即$\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{4}$
∴ω=4．
∴f（x）=sin8x+1．
（2）∵y=sin8x的最大值為1，此時8x=$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
可得：x=$\frac{π}{16}+\frac{kπ}{4}$，k∈Z．
∴函數f（x）的最大值為：1+1=2．
f（x）取得最大值的x的集合為{x|x=$\frac{π}{16}+\frac{kπ}{4}$，k∈Z}．

點評 本題主要考查了向量的數量積的運算，對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，屬于基礎題．