Question

18．已知函數f（x）=4cosωxsin（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的最小正周期是π．
（1）求函數f（x）在區間x∈（0，π）的單調遞增區間；
（2）求f（x）在$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，根據周期公式求出ω，將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；即可得x∈（0，π）的單調遞增區間；
（2）x∈$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$上時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）函數f（x）=4cosωxsin（ωx-$\frac{π}{6}$）
化簡可得：f（x）=4cosωxsinωxcos$\frac{π}{6}$-4cos²ωxsin$\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$sin2ωx-2cos²ωx=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx-1=2sin（2ωx$-\frac{π}{6}$）-1
∵函數f（x）的最小正周期是π，即$π=\frac{2π}{2ω}$，
∴ω=1，
那么f（x）=2sin（2x$-\frac{π}{6}$）-1．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x$-\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得：$-\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$，
∵x∈（0，π）
∴函數f（x）在區間x∈（0，π）的單調遞增區間為（0，$\frac{π}{3}$）和（$\frac{5π}{6}，π$）．
（2）x∈$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$上時，
2x$-\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]
當2x$-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）的最大值為2sin$\frac{π}{2}-1=1$；
當2x$-\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時，f（x）的最小值為2sin$\frac{7π}{6}-1$=-2；
∴f（x）在$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$上的最大值為1，最小值為-2．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．