Question

14．如圖，某三棱錐的正視圖、側視圖和俯視圖分別是直角三角形、等腰三角形和等邊三角形，若該三棱錐的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（　　）

• A． 27π
• B． 48π
• C． 64π
• D． 81π

Answer 1

分析 作出幾何體的直觀圖，確定外接球的球心位置，利用勾股定理求出外接球半徑即可得出表面積．

解答 解：由三視圖可知該幾何體為三棱錐，棱錐的高VA=4，棱錐底面ABC是邊長為6的等邊三角形，
作出直觀圖如圖所示：
∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，∴外接球的球心D在底面ABC的投影為△ABC的中心O，
過D作DE⊥VA于E，則E為VA的中點，
連結OA，DA，則DE=OA=$\frac{2}{3}×3\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，AE=$\frac{1}{2}$VA=2，DA為外接球的半徑r，
∴r=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=4，
∴外接球的表面積S=4πr²=64π．
故選C．

點評 本題考查了棱錐的三視圖，棱錐與外接圓的位置關系，屬于中檔題．