Question

5．在圓x²+y²=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足．當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？并求出該軌跡的焦點和離心率．

Answer 1

分析 根據題意，設M（x₀，y₀），分析可得P的坐標，分析可得$x_0^2+{（2{y_0}）^2}=1$，整理得$\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1$，即可得M的軌跡是橢圓，由橢圓的標準方程分析可得其焦點坐標以及離心率．

解答 解：根據題意，設M（x₀，y₀），又由線段PD的中點M，則P（x₀，2y₀），
點P在圓上運動，所以$x_0^2+{（2{y_0}）^2}=1$，整理得$\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1$，
所以點M的軌跡是橢圓，
該橢圓的焦點是$（{±\sqrt{3}，0}）$，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查曲線的軌跡方程，涉及橢圓的幾何性質，關鍵是求出軌跡的方程．