Question

16．如圖所示，某中學興趣小組設計的自動小車按下面程序運行：
①由點A出發到達點B或C或D，到達點B，C，D之一就停止；
②每次只向右或向下按路線運行；
③在每個路口向下的概率為$\frac{1}{3}$；
④到達點P時只向下，到達點Q時只向右；
（1）求小車從點A出發經過點M到達點B的概率以及小車從點A出發經過點N到達點C的概率；
（2）若小車到達點B，C，D時，隨機變量X分別記為1，2，3，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （1）由題意得出向下的概率和向右概率，從A過M到B，有兩次向下，再有一次向下與一次向右組合，求得概率值，同理可求海寶過點從A經過N到點C的概率；
（2）求出X=1，2，3時相應的概率，從而可求隨機變量X的分布列及期望．

解答 解：（1）由題意，向下概率為$\frac{1}{3}$，則向右概率為1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$；
從A過M到B，先有兩次向下，再有一次向下與一次向右組合，
其概率為${（\frac{1}{3}）}^{2}$•${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{81}$；
從A過N到C，概率為${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$•${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{16}{81}$；
（2）P（X=1）=（$\frac{1}{3}$）³+${C}_{3}^{2}$•（$\frac{1}{3}$）²•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{27}$；
P（X=2）=${C}_{4}^{2}$•（$\frac{1}{3}$）²•（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{8}{27}$；
P（X=3）=（$\frac{2}{3}$）³+${C}_{3}^{2}$•（$\frac{2}{3}$）²•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{16}{27}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{3}{27}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{16}{27}$

數學期望為E（X）=1×$\frac{3}{27}$+2×$\frac{8}{27}$+3×$\frac{16}{27}$=$\frac{67}{27}$．

點評 本題考查了等可能事件的概率以及離散型隨機變量的分布列和數學期望，是中檔題．