Question

11．凸邊形的性質：如果函數f（x）在區間D上的是凸變形，則對于區間D內的任意n個自變量x₁，x₂，…，x_n，有$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）+…+f（{x_n}）}}{n}≤f（\frac{{{x_1}+{x_2}+…+{x_n}}}{n}）$，當且僅當x₁=x₂=…=x_n時等號成立，已知函數y=sinx上是凸函數，
則在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 已知f（x）=sinx在區間（0，π）上是凸函數，利用凸函數的性質可得，有$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）+…+f（{x_n}）}}{n}≤f（\frac{{{x_1}+{x_2}+…+{x_n}}}{n}）$，變形得 sinA+sinB+sinC≤3sin$\frac{π}{3}$問題得到解決．

解答 解：∵f（x）=sinx在區間（0，π）上是凸函數，且A、B、C∈（0，π），
∴$\frac{sinA+sinB+sinC}{3}$≤sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴sinA+sinB+sinC≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，當且僅當A=B=C=$\frac{π}{3}$時，等號成立，
∴△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查新定義，凸函數的性質應用，屬于中檔題．