Question

17．如圖，三棱錐O-ABC中，AO⊥平面OBC，且OA=OB=OC=2，∠BOC=60°，點E，F分別是AB，AC的中點，H為EF的中點，過EF的動平面與線段OA交于點A₁，與線段OB，OC的延長線分別相交于點B₁，C₁．
（Ⅰ）證明：B₁C₁⊥平面OAH；
（Ⅱ）當|BB₁|=2|OA₁|-2時，求二面角A-A₁E-F的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結OE、OF，推導出EF⊥OH，EF⊥AH，從而EF⊥面OAH，推導出EF∥面OB₁C₁，從而EF∥B₁C₁，由此能證明B₁C₁⊥平面OAH．
（Ⅱ）取B₁C₁的中點M，以OM，OA為y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-A₁E-F的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連結OE、OF，OE=OF，由題意知AE=AF，
而H為EF中點，∴EF⊥OH，EF⊥AH，
∵OH∩AH=H，∴EF⊥面OAH，
∵EF∥BC，EF?面OB₁C${{\;}_{1}}^{\;}$，∴EF∥面OB₁C₁，
又EF?面A₁B₁C₁，面A₁B₁C₁∩面OB₁C₁=B₁C₁，∴EF∥B₁C₁，
∴B₁C₁⊥平面OAH．（5分）
解：（Ⅱ）如圖，取B₁C₁的中點M，以OM，OA為y，z軸建立空間直角坐標系，
由題得$A（0，0，2），B（1，\sqrt{3}，0），C（-1，\sqrt{3}，0），E（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1），F（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$，
設|OA₁|=h，h∈（1，2），則A₁（0，0，h），|BB₁|=2h-2，
∴B₁（h，$\sqrt{3}h$，0），∵A₁，E，B₁三點共線，∴A₁E∥A₁B₁，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}E}$與$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$平行，∴$\frac{h}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}h}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{-h}{1-h}$，解得h=$\frac{3}{2}$，∴${A_1}（0，0，\frac{3}{2}）$，
$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1），
設平面面AA₁E的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=-\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y-z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，-1，0$），
同理得面A₁EF的法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，1，$\sqrt{3}$），
設二面角A-A₁E-F的平面角為θ，
則|cosθ|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{4}$，則sinθ=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴二面角A-A₁E-F的正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{4}$．（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想，是中檔題．