Question

3．為了對某班學生的數學、物理成績進行分析，從該班25位男同學，15位女同學中隨機抽取一個容量為8的樣本．
（1）如果按性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（只要求寫出算式，不必計算出結果）；
（2）若這8人的數學成績從小到大排序是65，68，72，79，81，88，92，95．物理成績從小到大排序是72，77，80，84，86，90，93，98．
①求這8人中恰有3人數學、物理成績均在85分以上的概率（結果用分數表示）；
②已知隨機抽取的8人的數學成績和物理成績如表：

學生編號	1	2	3	4	5	6	7	8
數學成績	65	68	72	79	81	88	92	95
物理成績	72	77	80	84	86	90	93	98

若以數學成績為解釋變量x，物理成績為預報變量y，求y關于x的線性回歸方程（系數精確到0.01）；并求數學成績對于物理成績的貢獻率R²（精確到0.01）．
參考公式：相關系數：r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$，R²=r²，
回歸方程：$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$，其$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$
參考數據：$\overline{x}$=80，$\overline{y}$=85，$\sum_{i=1}^{8}$（x_i-$\overline{x}$）²=868，$\sum_{i=1}^{8}$（y_i-$\overline{y}$）²═518，$\sum_{i=1}^{8}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=664，$\sqrt{868}$≈29.5，$\sqrt{518}$≈22.8．

Answer 1

分析 （1）按比例求出抽取的男女人數，根據組合數公式計算可能的組合方法；
（2）分步計算組合方法，再計算概率；
（2）根據所給公式和數據進行計算，得出回歸方程和相關系數．

解答 解：（1）從25位男同學，15位女同學中隨機抽取一個容量為8的樣本，
按性別比例分層抽樣，則男生抽取8×$\frac{25}{25+15}$=5（人），女生抽取8-5=3（人）；
可以得到不同的樣本數是${C}_{25}^{5}$•${C}_{15}^{3}$；
（2）①數學成績在85分以上的有3人，物理成績在85分以上的有4人，
第一步，從物理的4個優秀分數中選3個與數學優秀分數對應，種數是A${\;}_{4}^{3}$，
第二步，將剩下的5個數學分數和物理分數任意對應，種數是${A}_{5}^{5}$，根據乘法原理，滿足條件的搭配種數是${A}_{4}^{3}{•A}_{5}^{5}$．
這8位同學的物理分數和數學分數分別對應的種數共有${A}_{8}^{8}$種．
故所求的概率P=$\frac{{A}_{4}^{3}{•A}_{5}^{5}}{{A}_{8}^{8}}$=$\frac{1}{14}$．
②設y與x的線性回歸方程是$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$，則$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{664}{868}$≈0.76，$\stackrel{∧}{a}$=85-0.76×80≈24.2，
所以y與x的線性回歸方程是$\stackrel{∧}{y}$=0.76x+24.2．
r=$\frac{664}{29.5×22.8}$≈0.987，R²=0.987²≈0.97．

點評 本題考查了分層抽樣，組合數公式的應用，線性回歸方程，屬于中檔題．