Question

18．扇形AOB的中心角為2θ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），半徑為r，在扇形AOB中作內切圓O₁與圓O₁外切，與OA，OB相切的圓O₂，問sinθ為何值時，圓O₂的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 設圓O₁及與圓O₂的半徑分別為r₁，r₂，運用圓與圓的位置關系和圓的面積公式進行求解．

解答 設圓O₁及與圓O₂的半徑分別為r₁，r₂，
則$\left\{\begin{array}{l}{（r-{r}_{1}）sinθ={r}_{1}}\\{（{r}_{1}+{r}_{2}）cos（\frac{π}{2}-θ）={r}_{1}-{r}_{2}}\end{array}\right.$，得：$\left\{\begin{array}{l}{{r}_{1}=\frac{rsinθ}{1+sinθ}}\\{{r}_{2}=\frac{{r}_{1}（1-sinθ）}{1+sinθ}}\end{array}\right.$
∴${r}_{2}=\frac{rsinθ（1-sinθ）}{（1+sinθ）^{2}}$，
∵0＜2θ＜2π，
∴0＜θ＜π，
令t=1+sinθ，（1＜t＜2）．
那么：${r}_{2}=\frac{-{t}^{2}+3t-2}{{t}^{2}}$=$-2（\frac{1}{t}-\frac{3}{4}）^{2}+\frac{1}{8}$，
當$\frac{1}{t}=\frac{4}{3}$，即sinθ=$\frac{1}{3}$時，圓O₂的半徑最大，圓O₂的面積最大，
最大值是$\frac{{r}^{2}π}{64}$．

點評 本題考查了圓與圓的關系式問題，正確掌握圓與圓的位置關系是準確解題的關鍵．屬于中檔題．