Question

8．已知f（x）=|x-1|+|x+2|．
（1）解不等式f（x）≥5；
（2）若關于x的不等式f（x）＞a²-2a-5對任意的x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據x≤-2，-2＜x＜1，x≥1，由此能求出f（x）≥5的解集．
（2）由|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，能求出f（x）的最小值為3，要使得關于x的不等式f（x）＞a²-2a-5對任意的x∈R恒成立，只需a²-2a-5＜3，由此能求出a的取值范圍．

解答 解：（1）當x≤-2時，f（x）=-（x-1）-（x+2）=-2x-1≥5，
解得x≤-3，
當-2＜x＜1時，f（x）=-（x-1）+（x+2）=3≥5不成立，
當x≥1時，f（x）=（x-1）+x+2=2x+1≥5，
解得x≥2，
綜上有f（x）≥5的解集是（-∞，-3][2，+∞）． …（6分）
（2）∵|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，
∴f（x）的最小值為3，
要使得關于x的不等式f（x）＞a²-2a-5對任意的x∈R恒成立，
只需a²-2a-5＜3，解得-2＜a＜4，
故a的取值范圍是（-2，4）．…（12分）

點評 本題考查不等式的解法，考查實數的取值范圍的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．