Question

16．已知球O的表面積為25π，長方體的八個頂點都在球O的球面上，則這個長方體的表面積的最大值為（　　）

• A． 50
• B． 100
• C． 50π
• D． 100π

Answer 1

分析 根據(jù)球的表面積求出半徑，設出長方體的長寬高，利用長方體的對角線長是直徑，寫出長方體的表面積表達式，求出它最大值．

解答 解：球O的表面積為4πR²=25π，
∴球O的半徑為R=$\frac{5}{2}$，
設長方體的長寬高分別為：a，b，c，
則球的直徑就是長方體對角線的長，
由題意可知a²+b²+c²=（2R）²=5²=25，
∴長方體的表面積為：2ab+2ac+2bc≤2a²+2b²+2c²=50；
當且僅當a=b=c時取得最大值，
即長方體為正方體時表面積最大，最大值為50．
故選：A．

點評 本題考查長方體的外接球問題，也考查了長方體的對角線與基本不等式的應用問題，是基礎題．