Question

14．已知邊長為2的正方形ABCD的四個頂點在球O的球面上，球O的體積為V_球=$\frac{160\sqrt{5}π}{3}$，則OA與平面ABCD所成的角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 過球心O作平面ABCD的垂線OG，則G為正方形中心，∠OAG為OA與平面ABCD所成的角，求出球的半徑OA，再求出AG，即可得出所求角的余弦值．

解答 解：如圖，

設球O的半徑為R，由V_球=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{160\sqrt{5}π}{3}$，
得${R}^{3}=\sqrt{8000}$，∴R=$2\sqrt{5}$，即OA=$2\sqrt{5}$．
設正方形ABCD的中心為G，連接OG，則OG⊥平面ABCD，
且AG=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$．
∴OA與平面ABCD所成的角的余弦值為$\frac{AG}{OA}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故選：A．

點評 本題考查了線面角的計算，球的結構特征，屬于基礎題．