Question

4．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，則“a=2bcosC”是“△ABC是等腰三角形”的（　　）

• A． 必要不充分條件
• B． 充分不必要條件
• C． 充分必要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 先根據題設條件求得cosC的表達式，進而利用余弦定理求得cosC的另一表達式，二者相等化簡整理求得b=c，進而判斷出三角形為等腰三角形．

解答 解：∵當a=2bcosC時，
∴cosC=$\frac{a}{2b}$，∵cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$，
∴$\frac{a}{2b}$=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$，化簡整理得b=c
∴△ABC為等腰三角形．
反之，“△ABC是等腰三角形，不一定有b=c，
從而a=2bcosC不一定成立．
則“a=2bcosC”是“△ABC是等腰三角形”的充分不必要條件．
故選：B．

點評 本題主要考查了解三角形的應用和三角形形狀的判斷，解題的關鍵是利用了cosC這一橋梁完成了問題的轉化．