Question

18．設函數f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+x．
（1）當a=2時，f（x）≤k恒成立，求k的取值范圍；
（2）方程mf（x）=（1-$\frac{am}{2}$）x²有唯一實數解，求正數m的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，求出函數的單調區間，求出函數的最大值，從而求出k的范圍即可；
（2）lnx+x=0時，不合題意，當lnx+x≠0時，m=$\frac{{x}^{2}}{lnx+x}$有唯一解，此時x＞x₀，記h（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx+x}$，根據函數的單調性求出m的值即可．

解答 解：（1）a=2時，f（x）=lnx-x²+x，
f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1=$\frac{-{2x}^{2}+x+1}{x}$=$\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
故f（x）_max=f（1）=0，
若f（x）≤k恒成立，
則k≥0；
（2）方程mf（x）=（1-$\frac{am}{2}$）x²有唯一實數解，
即m（lnx+x）=x²有唯一實數解，
當lnx+x=0時，顯然不成立，設lnx+x=0的根為x₀∈（$\frac{1}{e}$，1）
當lnx+x≠0時，m=$\frac{{x}^{2}}{lnx+x}$有唯一解，此時x＞x₀
記h（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx+x}$，
h′（x）=$\frac{x（x-1）+2xlnx}{{（lnx+x）}^{2}}$，
當x∈（0，1）時，x（x-1）＜0，2xlnx＜0，h′（x）＜0，
當x∈（1，+∞）時，x（x-1）＞0，2xlnx＞0，h'（x）＞0，
∴h（x）在（x₀，1）上遞減，（1，+∞）上遞增．
∴h（x）_min=h（1）=1，
當x∈（x₀，1）時，h（x）∈（1，+∞），
當x∈（1，+∞）時，h（x）∈（1，+∞），
要使m=$\frac{{x}^{2}}{lnx+x}$有唯一解，應有m=h（1）=1，
∴m=1．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查函數的最值，考查分離參數法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．