Question

10．已知向量$|{\overrightarrow a}|=1，|{\overrightarrow b}|=2$．
（Ⅰ）若$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{3}$，求$|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$；
（Ⅱ）若$（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（3\overrightarrow a+\overrightarrow b）=3$，求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角．

Answer 1

分析 （I）先計(jì)算$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，再計(jì)算（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$）²，開(kāi)方即可得出答案；
（II）將$（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（3\overrightarrow a+\overrightarrow b）=3$展開(kāi)即可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，代入夾角公式求出答案．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為$\frac{π}{3}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1×2×cos$\frac{π}{3}$=1；
∴（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+4${\overrightarrow{b}}^{2}$=1+4+16=21，
∴|$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{21}$．
（Ⅱ）∵（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=6${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=2-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=3，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-1，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=-$\frac{1}{2}$，
又∵0≤cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞≤π
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．