Question

5．在極坐標系中，曲線C₁：ρsin²θ=4cosθ，以極點為坐標原點，極軸為軸正半軸建立直角坐標系xOy，曲線C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）．
（1）求C₁、C₂的直角坐標方程；
（2）若曲線C₁與曲線C₂交于A、B兩點，且定點P的坐標為（2，0），求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的極坐標方程轉化為ρ²sin²θ=4ρcosθ，由此能求出曲線C₁的直角坐標方程，曲線C₂的參數方程消去參數t，能求出曲線C₂的直角坐標方程．
（2）曲線C₂的參數方程代入y²=4x，得3t²-8t-32=0，由此能求出|PA|•|PB|的值．

解答 （ 本 題 滿 分 10 分 ）
解：（1）∵曲線C₁：ρsin²θ=4cosθ，∴ρ²sin²θ=4ρcosθ，
∴曲線C₁的直角坐標方程為y²=4x．
∵曲線C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）．
∴曲線C₂消去參數t，得曲線C₂的直角坐標方程為$\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}$=0．
（2）曲線C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）代入y²=4x，
得$\frac{3}{4}{t}^{2}$=8+2t，即3t²-8t-32=0，
△=（-8）²-4×3×（-32）=448＞0，
t₁•t₂=-$\frac{32}{3}$，
∴|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=$\frac{32}{3}$．

點評 本題考查曲線的直角坐標方程的求法，考查兩線段的乘積的求法，考查直角坐標方程、極坐標方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．