Question

16．在極坐標系中，已知曲線C：ρ=asinθ（a＞0），若直線l：θ=$\frac{π}{3}$被曲線C截得的弦長為$\sqrt{3}$，求實數a的值．

Answer 1

分析 方法一：直接由$\left\{{\begin{array}{l}{ρ=asinθ}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$得$\sqrt{3}=asin\frac{π}{3}$，求出a的值即可；
方法二：化極坐標方程為直角坐標方程，求出圓心到直線的距離，利用勾股定理建立方程，即可求得結論．

解答 解：方法一：由$\left\{{\begin{array}{l}{ρ=asinθ}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$得$\sqrt{3}=asin\frac{π}{3}$，∴a=2；
方法二：極坐標的極點為坐標原點，以極軸為x建立直角坐標系．
由曲線：ρ=asinθ即ρ²=aρsinθ得x²+y²-ay=0，
即${x^2}+{（y-\frac{a}{2}）^2}=\frac{a^2}{4}$．
由直線$l：θ=\frac{π}{3}$得$\sqrt{x}-y=0$，
圓心到直線的距離$d=\frac{{|{-\frac{a}{2}}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（\sqrt{3}）}^2}}}}=\frac{a}{4}$，
∴${（\frac{a}{4}）^2}+\frac{3}{4}=\frac{a^2}{4}$解得a=2（負舍）．

點評 本題考查了坐標系與參數方程，考查直線與圓的位置關系，屬于基礎題．