Question

4．某創業投資公司擬投資某種新能源產品，研發小組經過初步論證，估計能獲得10萬元到100萬元的投資效益，現準備制定一個對研發小組的獎勵方案：獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，獎金不超過投資收益的20%且不超過9萬元，設獎勵y是投資收益x的模型為y=f（x）．
（1）試驗證函數y=$\frac{x}{150}$+1是否符合函數x模型請說明理由；
（2）若公司投資公司采用函數模型f（x）=$\frac{10x-3a}{x+2}$，試確定最小的正整數a的值．

Answer 1

分析 （1）判斷y=$\frac{x}{150}+1$的單調性，求出函數的最大值與9的大小關系，判斷$\frac{x}{150}+1$-$\frac{1}{5}$x≤0在[10，100]上是否恒成立；
（2）令f（x）-$\frac{x}{5}$≤0在[10，100]上恒成立，解出a的范圍，再令f（100）≤9解出a的范圍，求出a的范圍，從而得出a的最小正整數解．

解答 解：（1）函數y=$\frac{x}{150}$+1是增函數，當x=100時，y=$\frac{2}{3}+1$＜9，
∴獎金y隨投資收益x的增加而增加，且獎金不超過9萬元，
令g（x）=$\frac{x}{150}+1-\frac{x}{5}$≤0得x≥$\frac{150}{29}$，
∴當10≤x≤100時，獎金不超過投資收益的20%，
綜上，函數y=$\frac{x}{150}$+1符合函數x模型．
（2）f（x）=$\frac{10x-3a}{x+2}$=10-$\frac{3a+20}{x+2}$，
顯然，當a＞0時，f（x）是增函數，
令f（100）=10-$\frac{3a+20}{102}$≤9得a≥$\frac{82}{3}$，
令f（x）-$\frac{1}{5}$x=$\frac{10x-3a}{x+2}$-$\frac{1}{5}x$≤0在[10，100]上恒成立，
得15a≥-x²+48x，
令h（x）=-x²+48x，則h（x）在[10，24]上單調遞增，在（24，100]上單調遞減，
∴h（x）的最大值為h（24）=576，
∴15a≥576，即a≥$\frac{192}{5}$
綜上，a≥$\frac{192}{5}$，
∴最小的正整數a的值為38．

點評 本題考查了函數單調性的判斷，函數恒成立問題與函數最值計算，屬于中檔題．