Question

9．已知x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-3≤0}\\{x+y≥0}\\{x-y≥0}\end{array}\right.$，則z=x²+y²+2y+1的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據約束條件畫出可行域，利用幾何意義求最值，z=x²+y²+2y+1=（y+1）²+x²表示點（0，-1）到可行域的點的距離的平方，由此求出z的最小值．

解答 解：畫出約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-3≤0}\\{x+y≥0}\\{x-y≥0}\end{array}\right.$表示的平面區域如圖所示，
則z=x²+y²+2y+1=x²+（y+1）²，
表示可行域內的點到點C（0，-1）距離的平方，
當取點C到直線x+y=0的距離時，z最小，
此時z的最小值為d²=${（\frac{|0-1|}{\sqrt{2}}）}^{2}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查了簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值問題，是基礎題．