Question

1．底面邊長和側棱長均為2的正四棱錐的體積為$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 底面邊長和側棱長均為2的正四棱錐S-ABCD中，連結AC、BD交于點O，連結SO，則SO⊥底面ABCD，亞洲 屆AO=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$，$SO=\sqrt{S{A}^{2}-A{O}^{2}}$，由此能求出正四棱錐的體積．

解答 解：如圖，底面邊長和側棱長均為2的正四棱錐S-ABCD中，
連結AC、BD交于點O，連結SO，
則SO⊥底面ABCD，
S_{正方形ABCD}=AB•BC=2×2=4，
AO=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
$SO=\sqrt{S{A}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴正四棱錐的體積：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{正方形ABCD}×SO$=$\frac{1}{3}×4×\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查正四棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．