Question

3．已知橢圓${C_1}：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，直線l₁過(guò)點(diǎn)F₁，且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l₂垂直l₁于點(diǎn)P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（2）若AC、BD為橢圓C₁的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點(diǎn)F₂，求四邊形ABCD的面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，連接MF₂，由垂直平分線的性質(zhì)可得|MP|=|MF₂|，運(yùn)用拋物線的定義，即可得到所求軌跡方程；
（2）分類討論：當(dāng)AC或BD中的一條與x軸垂直而另一條與x軸重合時(shí)，此時(shí)四邊形ABCD面積S=2b²．當(dāng)直線AC和BD的斜率都存在時(shí)，不妨設(shè)直線AC的方程為y=k（x-2），則直線BD的方程為y=-$\frac{1}{k}$（x-2）．分別與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式可得|AC|，|BD|．利用四邊形ABCD面積S═$\frac{1}{2}$|AC|•|BD|即可得到關(guān)于斜率k的式子，再利用配方和二次函數(shù)的最值求法，即可得出．

解答 解：（1）橢圓${C_1}：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$
的焦點(diǎn)F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
連接MF₂，
由垂直平分線的性質(zhì)可得|MP|=|MF₂|，
由拋物線的定義，
可得M的軌跡為以F₂為焦點(diǎn)，l₁為準(zhǔn)線的拋物線，
即有方程為y²=8x；
（2）由橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1可得a²=8，b²=4，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=2．
①當(dāng)AC或BD中的一條與x軸垂直而另一條與x軸重合時(shí)，
此時(shí)四邊形ABCD面積S=$\frac{1}{2}$•2a•$\frac{2^{2}}{a}$=2b²=8．
②當(dāng)直線AC和BD的斜率都存在時(shí)，不妨設(shè)直線AC的方程為y=k（x-2），
則直線CD的方程為y=-$\frac{1}{k}$（x-2）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，化為（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$．
∴|AC|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）^{2}-\frac{32{k}^{2}-32}{1+2{k}^{2}}]}$
=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$．
把k換成-$\frac{1}{k}$，可得|BD|=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{2+{k}^{2}}$．
∴四邊形ABCD面積S=$\frac{1}{2}$|AC|•|BD|=$\frac{1}{2}$•$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{2+{k}^{2}}$
=$\frac{16（1+{k}^{2}）^{2}}{2{k}^{4}+5{k}^{2}+2}$=$\frac{16}{-（\frac{1}{1+{k}^{2}}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{1+{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，即k²=1時(shí)，S取得最小值$\frac{16}{\frac{9}{4}}$=$\frac{64}{9}$．
綜上可知：四邊形ABCD面積S的最小值是$\frac{64}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義和方程，同時(shí)考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、四邊形面積計(jì)算公式、二次函數(shù)的最值求法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．