Question

12．已知P為曲線$C：\left\{\begin{array}{l}x=3cosθ\\ y=4sinθ\end{array}\right.$（θ為參數，0≤θ≤π）上一點，O為坐標原點，若直線OP的傾斜角為$\frac{π}{4}$，則P點的坐標為$（{\frac{12}{5}，\frac{12}{5}}）$．

Answer 1

分析 設P（3cosθ，4sinθ），由直線OP的傾斜角為$\frac{π}{4}$，得tan$\frac{π}{4}$=$\frac{4sinθ}{3cosθ}$=1，0≤θ≤π，從而sinθ=$\frac{3}{4}cosθ$＞0，由sin²θ+cos²θ=$\frac{9}{16}co{s}^{2}θ+co{s}^{2}θ$=1，得到sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$，由此能求出P點坐標．

解答 解：∵P為曲線$C：\left\{\begin{array}{l}x=3cosθ\\ y=4sinθ\end{array}\right.$（θ為參數，0≤θ≤π）上一點，O為坐標原點，
∴P（3cosθ，4sinθ），
∵直線OP的傾斜角為$\frac{π}{4}$，
∴tan$\frac{π}{4}$=$\frac{4sinθ}{3cosθ}$=1，0≤θ≤π，即sinθ=$\frac{3}{4}cosθ$＞0，
∵sin²θ+cos²θ=$\frac{9}{16}co{s}^{2}θ+co{s}^{2}θ$=1，
解得sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$，∴P$（{\frac{12}{5}，\frac{12}{5}}）$．
故答案為：$（{\frac{12}{5}，\frac{12}{5}}）$．

點評 本題考查點的坐標的求法，考查參數方程、同角三角函數關系式、直線的斜率公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．