Question

4．過雙曲線的一個焦點F₂作垂直于實軸的弦PQ，F₁是另一焦點，若△PF₁Q是等腰直角三角形，則雙曲線的離心率e等于（　　）

• A． $\sqrt{2}-1$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}+1$
• D． $\sqrt{2}+2$

Answer 1

分析 計算|PF₂|，根據|F₁F₂|=|PF₂|即可求出e．

解答 設雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，F₂（c，0），
把x=c代入雙曲線方程得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴|PF₂|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵△PF₁Q是等腰直角三角形，
∴|F₁F₂|=|PF₂|，即2c=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴2ac=b²=c²-a²，
∴e²-2e-1=0，解得e=1+$\sqrt{2}$或e=1-$\sqrt{2}$（舍）．
故選C．

點評 本題考查了雙曲線的簡單性質，屬于基礎題．