Question

16．已知在△ABC中，三角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其滿足（a-3b）cosC=c（3cosB-cosA），AF=2FC，則$\frac{AB}{BF}$的取值范圍為（2，+∞）．

Answer 1

分析 由正弦定理，兩角和的正弦函數公式，三角形內角和定理，誘導公式化簡已知可求b=3a，結合AF=2FC，可得CF=a，AF=2a，由余弦定理，三角函數恒等變換的應用可得：$\frac{AB}{BF}$=$\sqrt{\frac{1}{si{n}^{2}\frac{C}{2}}+3}$，結合范圍0$＜\frac{C}{2}＜\frac{π}{2}$，即可計算得解．

解答 解：∵（a-3b）cosC=c（3cosB-cosA），
∴sinAcosC-3sinBcosC=3sinCcosB-sinCcosA，
∴sin（A+C）=3sin（B+C），
∴sinB=3sinA，可得：b=3a，
∵如右圖所示，AF=2FC，
∴CF=a，AF=2a，
∴則由余弦定理可得：$\frac{AB}{BF}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+（3a）^{2}-2×a×3a×cosC}{{a}^{2}+{a}^{2}-2a•a•cosC}}$=$\sqrt{\frac{5-3cosC}{1-cosC}}$
=$\sqrt{\frac{5-3（1-2si{n}^{2}\frac{C}{2}）}{2si{n}^{2}\frac{C}{2}}}$=$\sqrt{\frac{2+6si{n}^{2}\frac{C}{2}}{2si{n}^{2}\frac{C}{2}}}$=$\sqrt{\frac{1}{si{n}^{2}\frac{C}{2}}+3}$，
∵0＜C＜π，0$＜\frac{C}{2}＜\frac{π}{2}$，$\frac{1}{si{n}^{2}\frac{C}{2}}$∈（1，+∞），
∴$\frac{AB}{BF}$=$\sqrt{\frac{1}{si{n}^{2}\frac{C}{2}}+3}$∈（2，+∞）．
故答案為：（2，+∞）．

點評 本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數公式，三角形內角和定理，誘導公式，余弦定理，三角函數恒等變換的應用在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．