Question

9．（1）雙曲線與橢圓$\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{36}=1$有相同焦點，且焦點到漸近線的距離等于$\sqrt{5}$，求雙曲線的標準方程；
（2）已知頂點在原點，焦點在y軸上的拋物線被直線y=2x+1截得的弦長為$\sqrt{15}$，求拋物線的標準方程．

Answer 1

分析 （1）求出橢圓的焦點，設雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），求出漸近線方程，運用點到直線的距離公式可得b，由a，b，c的關系，求得a，進而得到雙曲線的方程；
（2）設拋物線的方程為x²=2py（p≠0），聯立直線的方程，運用韋達定理和弦長公式，解方程可得p，進而得到所求拋物線的方程．

解答 解：（1）橢圓$\frac{y^2}{36}+\frac{x^2}{27}=1$的焦點為（0，±3），
即c=3，
設雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
焦點（0，c）到漸近線ax-by=0的距離d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
可得b=$\sqrt{5}$，∴a=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=2，
雙曲線方程為$\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{5}=1$；
（2）設拋物線的方程為x²=2py（p≠0），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+1}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，消去y得：
x²-4px-2p=0，設弦的端點坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=4p，x₁x₂=-2p，
則|AB|=$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{（4p）^{2}+8p}$=$\sqrt{15}$，
解得p=-$\frac{3}{4}$或$\frac{1}{4}$，
則拋物線的方程為x²=$\frac{1}{2}$y或x²=-$\frac{3}{2}$y．

點評 本題考查雙曲線和拋物線的方程，注意運用待定系數法，考查橢圓的方程和性質，雙曲線的漸近線方程以及拋物線和直線方程聯立，運用韋達定理和弦長公式，考查運算能力，屬于中檔題．