Question

14．已知正實數m，n滿足$\frac{1}{m+n}$+$\frac{1}{m-n}$=1，則3m+2n的最小值為3+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據題意，分析可得3m+2n=$\frac{5}{2}$（m+n）+$\frac{1}{2}$（m-n），又由$\frac{1}{m+n}$+$\frac{1}{m-n}$=1，則有3m+2n=[$\frac{5}{2}$（m+n）+$\frac{1}{2}$（m-n）]×[$\frac{1}{m+n}$+$\frac{1}{m-n}$]=3+$\frac{\frac{5}{2}（m+n）}{m-n}$+$\frac{\frac{1}{2}（m-n）}{m+n}$，利用基本不等式分析可得答案．

解答 解：根據題意，3m+2n=$\frac{5}{2}$（m+n）+$\frac{1}{2}$（m-n），
又由m，n滿足$\frac{1}{m+n}$+$\frac{1}{m-n}$=1，
則有3m+2n=[$\frac{5}{2}$（m+n）+$\frac{1}{2}$（m-n）]×[$\frac{1}{m+n}$+$\frac{1}{m-n}$]
=3+$\frac{\frac{5}{2}（m+n）}{m-n}$+$\frac{\frac{1}{2}（m-n）}{m+n}$≥3+2$\sqrt{\frac{5}{2}×\frac{1}{2}}$=3+$\sqrt{5}$，
當且僅當$\frac{\frac{5}{2}（m+n）}{m-n}$=$\frac{\frac{1}{2}（m-n）}{m+n}$時，等號成立，
即3m+2n的最小值為3+$\sqrt{5}$，
故答案為：3+$\sqrt{5}$．

點評 本題考查基本不等式的性質，關鍵是分析（3m+2n）與（m+n）與（m-n）的關系．