Question

2．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為AC與BD的交點．若$\overrightarrow{{A_1}{B_1}}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{{A_1}{D_1}}$=$\overrightarrow b$，$\overrightarrow{{A_1}A}$=$\overrightarrow c$，則下列向量中與$\overrightarrow{{A_1}M}$相等的向量是（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$$\overrightarrow a$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$
• B． $\frac{1}{2}$$\overrightarrow a$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$
• C． $\frac{1}{2}$$\overrightarrow a$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$
• D． -$\frac{1}{2}$$\overrightarrow a$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$

Answer 1

分析 由空間向量加法法則得$\overrightarrow{{A_1}M}$=$\overrightarrow{{A}_{1}A}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{{A}_{1}A}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}）$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}）$+$\overrightarrow{{A}_{1}A}$，由此能求出結果．

解答 解：∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為AC與BD的交點．
$\overrightarrow{{A_1}{B_1}}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{{A_1}{D_1}}$=$\overrightarrow b$，$\overrightarrow{{A_1}A}$=$\overrightarrow c$，
∴$\overrightarrow{{A_1}M}$=$\overrightarrow{{A}_{1}A}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
=$\overrightarrow{{A}_{1}A}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}）$
=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}）$+$\overrightarrow{{A}_{1}A}$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$．
故選：B．

點評 本題考查向量的表示，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間向量加法法則的合理運用．