Question

12．已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合．已知直線l的參數方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+4\sqrt{2}}\end{array}}\right.$（t為參數），圓C的極坐標方程為$ρ=2sin（{\frac{π}{4}-θ}）$
（ I）求圓心C的直角坐標；
（ II）已知P是直線l上的動點，PA、PB是圓C的切線，A、B是切點，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值．

Answer 1

分析 （I）圓C的極坐標方程轉化為${ρ^2}=\sqrt{2}ρcosθ-\sqrt{2}ρsinθ$，由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圓C的直角坐標方程，由此能求出圓心直角坐標．
（II）直線l的參數方程消去參數t得直線l的普通方程為$x-y+4\sqrt{2}=0$，圓心C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）到直線l距離d=5，由此求出直線l上的點向圓C引的切線長的最小值，切線長最小時，四邊形PACB的面積最小．由此能求出四邊形PACB面積的最小值．

解答 解：（I）∵圓C的極坐標方程為$ρ=2sin（{\frac{π}{4}-θ}）$
∴$ρ=\sqrt{2}cosθ-\sqrt{2}sinθ$，∴${ρ^2}=\sqrt{2}ρcosθ-\sqrt{2}ρsinθ$，
∵ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴圓C的直角坐標方程為${x^2}+{y^2}-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0$，
即${（x-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}+{（y+\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}=1$，∴圓心直角坐標為$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．
（II）∵直線l的參數方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+4\sqrt{2}}\end{array}}\right.$（t為參數），
∴直線l消去參數t得直線l的普通方程為$x-y+4\sqrt{2}=0$，
圓心C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）到直線l距離d=
$\frac{{|{\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}+4\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{2}}}=5$
∴直線l上的點向圓C引的切線長的最小值是$\sqrt{{5^2}-{1^2}}=2\sqrt{6}$，切線長最小時，四邊形PACB的面積最小．
∴四邊形PACB面積的最小值是S_min=2×（$\frac{1}{2}×1×2\sqrt{6}$）=$2\sqrt{6}$．

點評 本題考查圓心的直角坐標的求法，考查四邊形面積的最小值的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．