Question

7．已知三棱錐P-ABC，PA=BC=5，PB=AC=$\sqrt{34}$，PC=AB=$\sqrt{41}$，則此三棱錐的體積是160．

Answer 1

分析 把三棱錐P-ABC補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體AEBG-FPDC，由題意知三棱錐P-ABC的各邊分別是長(zhǎng)方體AEBG-FPDC的面對(duì)角線(xiàn)，V_{三棱錐P-ABC}=V_{長(zhǎng)方體AEBG-FPDC}-V_{三棱錐P-AEB}-V_{三棱錐A-FPC}=V_{長(zhǎng)方體AEBG-FPDC}-4V_{三棱錐P-AEB}，由此能求出此三棱錐的體積．

解答 解：如圖，把三棱錐P-ABC補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體AEBG-FPDC，
由題意知三棱錐P-ABC的各邊分別是長(zhǎng)方體AEBG-FPDC的面對(duì)角線(xiàn)，
設(shè)PE=x，EB=y，EA=z，
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=100}\\{{x}^{2}+{z}^{2}=136}\\{{y}^{2}+{z}^{2}=164}\end{array}\right.$，解得x=6，y=8，z=10，
∴V_{三棱錐P-ABC}=V_{長(zhǎng)方體AEBG-FPDC}-V_{三棱錐P-AEB}-V_{三棱錐A-FPC}
=V_{長(zhǎng)方體AEBG-FPDC}-4V_{三棱錐P-AEB}
=$6×8×10-4×\frac{1}{6}×6×8×1$0=160．
∴此三棱錐的體積是160．
故答案為：160．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．