Question

16．已知在平面直角坐標系中，O是坐標原點，動圓P經過點F（0，1），且與直線l₁：y=-1相切．
（Ⅰ）求動圓圓心P的軌跡方程C；
（Ⅱ）過F（0，1）的直線m交曲線C于A、B兩點，過A、B作曲線C的切線l₁，l₂，直線l₁，l₂交于點M，求△MAB的面積的最小值．

Answer 1

分析 （I）根據P到F和P到直線y=-1的距離相等列方程得出軌跡方程；
（II）設直線AB的方程為y=kx+1，和A，B的坐標，用A，B的坐標表示出切線方程，得出M點坐標，計算|AB|和M到直線AB的距離，得出面積關于k的表達式，從而得出面積的最小值．

解答 解：（I）設P（x，y），則|PF|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$，
P到直線y=-1的距離為d=|y+1|，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$=|y+1|，
整理得x²=4y，
∴動圓圓心P的軌跡C方程為：x²=4y．
（II）設直線AB方程為：y=kx+1，
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
由x²=4y得y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，∴y′=$\frac{x}{2}$，
∴切線l₁方程為：y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），切線l₂的方程為：y-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{2}}{2}$（x-x₂），
聯立方程組可得M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$），即M（2k，-1）．
∴|AB|=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+2=4k²+4，
M到直線AB的距離d=$\frac{2{k}^{2}+2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△MAB=$\frac{1}{2}$×（4k²+4）×$\frac{2{k}^{2}+2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=4（1+k²）${\;}^{\frac{3}{2}}$，
∴當k=0時，S_△MAB取得最小值4．

點評 本題考查了拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．