Question

11．已知首項都是1的兩個數列{a_n}，{b_n}（b_n≠0，n∈N^*），滿足$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$-$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$=-2．
（1）令c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，求數列{c_n}的通項公式；
（2）若b_n=3^n-1，求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$-$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$=-2，c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，可得c_n+1-c_n=2，利用等差數列的通項公式即可得出．
（2）b_n=3^n-1，可得a_n=（2n-1）•3^n-1．利用錯位相減法與等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$-$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$=-2，c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，
∴c_n+1-c_n=2，
∴數列{c_n}是等差數列，首項為1，公差為2．
∴c_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=3^n-1，∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=2n-1，
∴a_n=（2n-1）•3^n-1．
∴數列{a_n}的前n項和S_n=1+3×3+5×3²+…+（2n-1）•3^n-1．
∴3S_n=3+3×3²+5×3³+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ，
相減可得：-2S_n=1+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ=1+2×$\frac{3（{3}^{n-1}-1）}{3-1}$-（2n-1）•3ⁿ，
化為：S_n=1+（n-1）•3ⁿ．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、錯位相減法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．