Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）求曲線C的普通方程；
（2）經(jīng)過點(diǎn)M（2，1）（平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)）作直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，若M恰好為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)θ，能求出曲線C的普通方程．
（2）設(shè)直線l的傾斜角為θ₁，求出直線的參數(shù)方程，代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，得（cos²θ₁+4sin²θ₁）+（4cosθ₁+8sinθ₁）t-8=0，由此利用韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出直線l的斜率．

解答 解：（1）∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴由曲線C的參數(shù)方程，得$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=\frac{x}{4}}\\{sinθ=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，
∴曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）設(shè)直線l的傾斜角為θ₁，
則直線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcos{θ}_{1}}\\{y=1+tsin{θ}_{1}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，得（cos²θ₁+4sin²θ₁）+（4cosθ₁+8sinθ₁）t-8=0，
∴t₁+t₂=-$\frac{4cos{θ}_{1}+8sin{θ}_{1}}{co{s}^{2}{θ}_{1}+4si{n}^{2}{θ}_{1}}$，由題意可知t₁=-t₂．
∴4cosθ₁+8sinθ₁，得k=-$\frac{1}{2}$，
∴直線l的斜率為-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查參數(shù)方程化為普通方程的求法，考查直線的斜率的求法，考查韋達(dá)定理、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．