Question

15．若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，則下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是（　　）

• A． {lga_n}
• B． {1+a_n}
• C． $\{\frac{1}{a_n}\}$
• D． $\{\sqrt{a_n}\}$

Answer 1

分析 求出${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}$，在A中，$\frac{lg{a}_{n}}{lg{a}_{n-1}}$不一定是常數(shù)；在B中，{1+a_n}可能有項為0；在C中，利用等比數(shù)列的定義，可知{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的公比是原來公比的倒數(shù)；在D中，當q＜0時，數(shù)列{a_n}存在負項，此時$\sqrt{{a}_{n}}$無意義．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，∴${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}$，
在A中，$\frac{lg{a}_{n}}{lg{a}_{n-1}}$=$\frac{lg（{a}_{1}{q}^{n-1}）}{lg（{a}_{1}{q}^{n-2}）}$=$\frac{lg{a}_{1}+（n-1）lgq}{lg{a}_{1}+（n-2）lgq}$不一定是常數(shù)，故A不一定是等比數(shù)列；
在B中，{1+a_n}可能有項為0，故B不一定是等比數(shù)列；
在C中，利用等比數(shù)列的定義，可知{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的公比是原來公比的倒數(shù)，故C一定是等比數(shù)列；
在D中，當q＜0時，數(shù)列{a_n}存在負項，此時$\sqrt{{a}_{n}}$無意義，故D不符合題意．
故選：C．

點評 本題考查等比數(shù)列的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．