Question

14．在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為$ρ=4sin（θ+\frac{π}{3}）$，射線OM的極坐標方程為θ=α₀（ρ≥0）．
（1）寫出曲線C₁的極坐標方程和曲線C₂的直角坐標方程；
（2）若射線OM平分曲線C₂，且與曲線C₁交于點A，曲線C₁上的點B滿足$∠AOB=\frac{π}{2}$，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲線C₁的極坐標方程，曲線C₂的極坐標方程轉化為ρ²=2ρsinθ+2$\sqrt{3}ρcosθ$，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，能求出曲線C₂的直角坐標方程．
（2）曲線C₂是圓心為$（\sqrt{3}，\;\;\;1）$，半徑為2的圓，射線OM的極坐標方程為$θ=\frac{π}{6}（ρ≥0）$，代入${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{sin}^2}θ}}$，得$ρ_A^2=2$．由$∠AOB=\frac{π}{2}$，得$ρ_B^2=\frac{6}{5}$，由此能求出|AB|．

解答 【選修4-4：坐標系與參數方程】
解：（1）∵曲線C₁的方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，
∴曲線C₁的極坐標方程為${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{sin}^2}θ}}$，
∵曲線C₂的極坐標方程為$ρ=4sin（θ+\frac{π}{3}）$，
即$ρ=4sinθcos\frac{π}{3}+4cosθsin\frac{π}{3}$，
即ρ²=2ρsinθ+2$\sqrt{3}ρcosθ$，
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，
∴${x}^{2}+{y}^{2}=2y+2\sqrt{3}x$，
∴曲線C₂的直角坐標方程為${（x-\sqrt{3}）^2}+{（y-1）^2}=4$．
（2）曲線C₂是圓心為$（\sqrt{3}，\;\;\;1）$，半徑為2的圓，
∴射線OM的極坐標方程為$θ=\frac{π}{6}（ρ≥0）$，
代入${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{sin}^2}θ}}$，可得$ρ_A^2=2$．
又$∠AOB=\frac{π}{2}$，∴$ρ_B^2=\frac{6}{5}$，
∴$|AB|=\sqrt{|OA{|^2}+|OB{|^2}}=\sqrt{ρ_A^2+ρ_B^2}=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本題考查曲線的極坐標方程、直角坐標方程的求法，考查弦長的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．