Question

9．已知曲線C的極坐標方程為ρ²-2$\sqrt{2}$ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）-2=0，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系xOy．
（1）若直線l過原點，且被曲線C截得的弦長最小，求直線l的直角坐標方程；
（2）若M是曲線C上的動點，且點M的直角坐標為（x，y），求x+y的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標方程轉化為ρ²-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0，將$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入，能求出曲線的直角坐標方程為（x-1）²+（y+1）²=4，圓心C（1，-1），由直線l被曲線C截得的弦長最小，知直線l與OC垂直，由此能求出直線l的直角坐標方程．
（2）由M是曲線C上的動點，設$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosα}\\{y=-1+2sinα}\end{array}\right.$，（α為參數），由此能出x+y的最大值．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標方程為ρ²-2$\sqrt{2}$ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）-2=0，
∴ρ²-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0，
將$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入，得曲線的直角坐標方程為（x-1）²+（y+1）²=4，
圓心C（1，-1），若直線l被曲線C截得的弦長最小，則直線l與OC垂直，
∴k_l•k_OC=-1，∵k_OC=-1，∴k_l=1，
∴直線l的直角坐標方程為y=x．
（2）∵M是曲線C上的動點，
∴設$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosα}\\{y=-1+2sinα}\end{array}\right.$，（α為參數），
則x+y=2sinα+2cosα=2$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$），
當sin（$α+\frac{π}{4}$）=1時，x+y取得最大值為2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線的直角坐標方程的求法，考查代數式的最大值的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．