Question

5．已知冪函數f（x）的圖象過點（2，$\frac{1}{4}$），則函數g（x）=f（x）+$\frac{{x}^{2}}{4}$的最小值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 利用待定系數法求出冪函數f（x）的解析式，再利用基本不等式求函數g（x）的最小值．

解答 解：設冪函數f（x）=x^α的圖象過點（2，$\frac{1}{4}$），
∴2^α=$\frac{1}{4}$，解得α=-2；
∴函數f（x）=x^-2，其中x≠0；
∴函數g（x）=f（x）+$\frac{{x}^{2}}{4}$
=x^-2+$\frac{{x}^{2}}{4}$
=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$≥2$\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}•\frac{{x}^{2}}{4}}$=1，
當且僅當x=±2時，g（x）取得最小值1．
故選：A．

點評 本題考查了求冪函數的解析式以及函數最小值的應用問題，是基礎題．