Question

20．已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（$\frac{1}{x}$），且當(dāng)x∈[1，+∞）時，f（x）=e^x-1+lnx+a（x-$\frac{1}{x}$）-t，t∈R．
（Ⅰ）若a≥0，試討論函數(shù)f（x）的零點個數(shù)；
（Ⅱ）若t=1，求證：當(dāng)a≥-1時，f（x）≥0．

Answer 1

分析 （I）判斷f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性，從而得出f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，計算f（x）的最小值，根據(jù)最小值與0的關(guān)系得出零點個數(shù)；
（II）由不等式性質(zhì)可得f（x）≥（e^x-1-x）+（lnx+$\frac{1}{x}$-1），判斷右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）x∈[1，+∞）時，$f'（x）={e^{x-1}}+\frac{1}{x}+a+\frac{a}{x^2}＞0$，
∴f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（0，1]時，$\frac{1}{x}∈[1，+∞）$，又$f（x）=f（\frac{1}{x}）$，∴$f'（x）=-\frac{1}{x^2}f'（\frac{1}{x}）＜0$，
∴f（x）在（0，1]上為減函數(shù)．
∴f（x）_min=f（1）=1-t．
∴當(dāng)t＜1時，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)無零點；
當(dāng)t=1時，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有一個零點；
∴當(dāng)t＞1時，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有兩個零點．
（Ⅱ）證明：x∈[1，+∞）時，∵a≥-1，$x-\frac{1}{x}≥0$，故$a（x-\frac{1}{x}）≥-x+\frac{1}{x}$，
∴$f（x）={e^{x-1}}+lnx+a（x-\frac{1}{x}）-1≥{e^{x-1}}+lnx-x+\frac{1}{x}-1=（{e^{x-1}}-x）+（lnx+\frac{1}{x}-1）$，
設(shè)g（x）=e^x-1-x，則g'（x）=e^x-1-1≥0，g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）≥g（1）=0，∴e^x-1-x≥0，
設(shè)h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1（x≥1），則h′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$≥0，
∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）≥h（1）=0，∴$lnx+\frac{1}{x}-1≥0$，
∴$（{e^{x-1}}-x）+（lnx+\frac{1}{x}-1）≥0$在[1，+∞）上恒成立．
∴f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
又x∈（0，1]時，$f（x）=f（\frac{1}{x}）$，
∴當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）≥0恒成立．
綜上，當(dāng)a≥-1時，f（x）≥0恒成立．

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與最值計算，函數(shù)零點與極值的關(guān)系，屬于中檔題．