Question

11．已知集合A={x|（x+2m）（x-m+4）＜0}，其中m∈R，集合B={x|$\frac{1-x}{x+2}$＞0}．
（1）若B⊆A，求實數m的取值范圍；
（2）若A∩B=∅，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡集合B，方法一、討論A為空集和不為空集，由集合的包含關系可得m的不等式組，解不等式即可；
方法二、因為B⊆A，所以對于?x∈B={x|-2＜x＜1}，（x+2m）（x-m+4）＜0恒成立．可得m的不等式組，解不等式即可；
（2）方法一、討論A為空集和不為空集，結合交集的定義，即可得到所求范圍；
方法二、令f（x）=（x+2m）（x-m+4），結合交集的定義，可得m的不等式組，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）集合$B=\left\{{x\left|{\frac{1-x}{x+2}＞0}\right.}\right\}=\left\{{x\left|{-2＜x＜1}\right.}\right\}$，
方法一：（1）當A=∅時，$m=\frac{4}{3}$，不符合題意．
（2）當A≠∅時，$m≠\frac{4}{3}$．
①當-2m＜m-4，即$m＞\frac{4}{3}$時，A={x|-2m＜x＜m-4}，
又因為B⊆A
所以$\left\{{\begin{array}{l}{m＞\frac{4}{3}}\\{-2m≤-2}\\{m-4≥1}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{m＞\frac{4}{3}}\\{m≥1}\\{m≥5}\end{array}}\right.$，所以m≥5；
②當-2m＞m-4，即$m＜\frac{4}{3}$時，A={x|m-4＜x＜-2m}
又因為B⊆A
所以$\left\{{\begin{array}{l}{m＜\frac{4}{3}}\\{-2m≥1}\\{m-4≤-2}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{m＜\frac{4}{3}}\\{m≤-\frac{1}{2}}\\{m≤2}\end{array}}\right.$，所以$m≤-\frac{1}{2}$．
綜上所述：實數m的取值范圍為：m≥5或$m≤-\frac{1}{2}$．
方法二：因為B⊆A，所以對于?x∈B={x|-2＜x＜1}，（x+2m）（x-m+4）＜0恒成立．
令f（x）=（x+2m）（x-m+4）則$\left\{{\begin{array}{l}{f（1）=（2m+1）（1-m+4）≤0}\\{f（-2）=（-2+2m）（-2-m+4）≤0}\end{array}}\right.$
得$\left\{\begin{array}{l}{m≥5或n≤-\frac{1}{2}}\\{m≥2或m≤1}\end{array}\right.$，
所以實數m的取值范圍為：m≥5或$m≤-\frac{1}{2}$；
（2）方法一：（1）當A=∅時，$m=\frac{4}{3}$，符合題意．            
（2）當A≠∅時，$m≠\frac{4}{3}$．
①當-2m＜m-4，即$m＞\frac{4}{3}$時，A={x|-2m＜x＜m-4}
又因為A∩B=∅
所以-2m≥1或者  m-4≤-2，
即$m≤-\frac{1}{2}$或者m≤2，
所以$\frac{4}{3}＜m≤2$；
②當-2m＞m-4，即$m＜\frac{4}{3}$時，A={x|m-4＜x＜-2m}
又因為A∩B=∅
所以m-4≥1或者-2m≤-2，
即m≥5或者m≥1，
所以$1≤m＜\frac{4}{3}$
綜上所述：實數m的取值范圍為：1≤m≤2．
方法（二）令f（x）=（x+2m）（x-m+4）
由A∩B=∅得
①$\left\{{\begin{array}{l}{-2m≥1}\\{m-4≥1}\end{array}}\right.$即 $\left\{{\begin{array}{l}{m≤-\frac{1}{2}}\\{m≥5}\end{array}}\right.$，所以m∈∅，
②$\left\{{\begin{array}{l}{-2m≤-2}\\{m-4≤-2}\end{array}}\right.$即 $\left\{{\begin{array}{l}{m≥1}\\{m≤2}\end{array}}\right.$，所以1≤m≤2，
綜上所述：實數m的取值范圍為：1≤m≤2．

點評 本題考查集合的運算，主要是交集的定義和集合的包含關系，考查分類討論思想方法和轉化思想的運用，考查運算能力，屬于中檔題．