Question

1．已知數列{a_n}的前n項和S_n=n（n+1），數列{b_n}對n∈N^*，有S₁b₁+S₂b₂+…+S_nb_n=a_n，求b₁+b₂+…+b₂₀₁₇=$\frac{2017}{1009}$．

Answer 1

分析 數列{a_n}的前n項和S_n=n（n+1），n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．當n=1時，a₁=S₁=2，即可得出a_n．數列{b_n}對n∈N^*，有S₁b₁+S₂b₂+…+S_nb_n=a_n，n≥2時，S₁b₁+S₂b₂+…+S_n-1b_n-1=a_n-1，可得S_nb_n=a_n-a_n-1=2，b_n=$\frac{2}{n（n+1）}$，再利用裂項求和方法即可得出．

解答 解：∵數列{a_n}的前n項和S_n=n（n+1），
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-n（n-1）=2n．
當n=1時，a₁=S₁=2，對于上式也成立．
數列{b_n}對n∈N^*，有S₁b₁+S₂b₂+…+S_nb_n=a_n，
∴n≥2時，S₁b₁+S₂b₂+…+S_n-1b_n-1=a_n-1，
∴S_nb_n=a_n-a_n-1=2，
∴b_n=$\frac{2}{n（n+1）}$，
n=1時，a₁b₁=a₁，解得b₁=1，對于上式也成立．
∴b_n=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴b₁+b₂+…+b_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．
∴b₁+b₂+…+b₂₀₁₇=$\frac{2×2017}{2017+1}$=$\frac{2017}{1009}$．
故答案為：$\frac{2017}{1009}$．

點評 本題考查了數列遞推關系、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．