Question

9．已知定義域為[a-1，2a+1]的奇函數f（x）=x³+（b-1）x²+x，則f（2x-b）+f（x）≥0的解集為（　　）

• A． [1，3]
• B． $[\frac{1}{3}，2]$
• C． [1，2]
• D． $[\frac{1}{3}，1]$

Answer 1

分析 根據題意，由函數為奇函數可得（a-1）+（2a+1）=0且f（-x）+f（x）=0，分析可得a、b的值，即可得函數f（x）的解析式，由此分析可得函數f（x）為增函數，由此可以將f（2x-b）+f（x）≥0轉化為f（2x-1）≥f（-x），由函數的定義域以及單調性可得$\left\{\begin{array}{l}{-1≤2x-1≤1}\\{-1≤-x≤1}\\{2x-1≥-x}\end{array}\right.$，解可得x的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據題意，定義域為[a-1，2a+1]的奇函數f（x）=x³+（b-1）x²+x，
則有（a-1）+（2a+1）=0，解可得a=0，
且f（-x）+f（x）=[x³+（b-1）x²+x]+[（-x）³+（b-1）（-x）²+（-x）]=0，解可得b=1，
即函數f（x）=x³+x，
則有f′（x）=3x²+1＞0，即函數在其定義域[-1，1]上為增函數，
f（2x-b）+f（x）≥0⇒f（2x-1）≥-f（x）⇒f（2x-1）≥f（-x），
則有$\left\{\begin{array}{l}{-1≤2x-1≤1}\\{-1≤-x≤1}\\{2x-1≥-x}\end{array}\right.$，解可得$\frac{1}{3}$≤x≤1，
即f（2x-b）+f（x）≥0的解集為[$\frac{1}{3}$，1]；
故選：D．

點評 本題考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，關鍵是求出a、b的值．