Question

20．已知函數y=f（x）在（0，+∞）上可導，且滿足（x-1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1）恒成立，f（1）=2，若曲線f（x）在點（1，2）處的切線為y=g（x）且g（a）=2016，則a=-502.5．

Answer 1

分析 由題意可構造函數F（x）=x²f（x），求出導數，結合條件可得F（x）在（1，+∞）上單調遞增，F（x）在（0，1）上單調遞減，可得F′（1）=0，可得f′（1）=-4，求出f（x）在點（1，2）處的切線為y=g（x），代入計算即可得到所求a的值．

解答 解：構造函數F（x）=x²f（x），
則F′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，
由（x-1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1）
可知，當x＞1時，2f（x）+xf′（x）＞0，
即F（x）在（1，+∞）上單調遞增，
當0＜x＜1時，2f（x）+xf′（x）＜0，
即F（x）在（0，1）上單調遞減，
則F′（1）=2f（1）+f′（1）=0，
由f（1）=2，
故f′（1）=-4，
則曲線f（x）在點（1，2）處的切線為y-2=-4（x-1），
即有g（x）=6-4x，
由g（a）=6-4a=2016，
則a=-502.5．
故答案為：-502.5．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程和單調區間，考查構造函數法，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．